Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x+2，x≤0\\|{x-1}|+1，x＞0\end{array}$，若f（x）≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2-2$\sqrt{2}$，1]
• B． （-∞，1]
• C． （2-2$\sqrt{2}$，0）
• D． [2-2$\sqrt{2}$，0]

Answer 1

分析 绘出函数f（x）的图象，利用数形结合的思想判断a的范围，找出临界点即相切时a的取值，进而得出a的范围．

解答 解：作出f（x）的图象，如右．
由图象可知：
要使f（x）≥ax恒成立，
只需函数g（x）=ax的图象恒在图象f（x）的下方，
可得a≤1显然成立，
设g（x）=ax与函数f（x）=x²+2x+2（x≤0）相切于点P（m，n），
由f（x）的导数为2x+2，可得切线的斜率为2m+2，
即有a=2m+2，am=m²+2m+2，
解得m=-$\sqrt{2}$，a=2-2$\sqrt{2}$
由图象可得a≥2-2$\sqrt{2}$，
综上可得a的范围是[2-2$\sqrt{2}$，1]．
故选：A．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．