Question

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求直线PF₁的方程；
（2）求椭圆E的方程；
（3）设Q为椭圆E上的一个动点，求证：以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．

Answer 1

分析：（1）因为A（3，1）在⊙C上，所以

(3-m)2=4 m＜3

，m=1．所以⊙C：（x-1）²+y²=5．设直线PF₁方程：y-4=k（x-4），由题设知：

|4-3k|

k2+1

=

5

，k=

11

2

或k=

1

2

．由此能求出直线PF₁方程．
（2）由F₁（-4，0），知F₂（4，0），a²-b²=16．由2a=AF1+AF2=

50

+

2

=6

2

，知a=3

2

，b²=2，由此能求出椭圆E的方程．
（3）设QF₁的中点为M，连QF₂．OM=

1

2

QF2=

1

2

(6

2

-QF1)=3

2

-

1

2

QF1，由此能证明以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．

解答：解：（1）因为A（3，1）在⊙C上，
所以，

(3-m)2=4 m＜3

，m=1．
所以，⊙C：（x-1）²+y²=5．（2分）
易知直线PF₁的斜率存在，设直线PF₁方程：y-4=k（x-4），
即：kx-y+（4-4k）=0
题设有：

|4-3k|

k2+1

=

5

，
k=

11

2

或k=

1

2

（4分）
k=

11

2

时，直线PF₁方程

11

2

x-y-18=0，
令y=0，则x=

36

11

＞0，不合题意（舍去）
k=

1

2

时，直线PF₁方程：x-2y+4=0．
令y=0，则x=-4＜0满足题设．
所以，直线PF₁方程为：x-2y+4=0．（6分）
（2）由（1）知F₁（-4，0），
所以，F₂（4，0），a²-b²=16①（7分）
又2a=AF1+AF2=

50

+

2

=6

2

所以，a=3

2

（9分）
所以，b²=2（10分）
椭圆E的方程：

x2

18

+

y2

2

=1．（11分）
（3）设QF₁的中点为M，连QF₂．
则OM=

1

2

QF2=

1

2

(6

2

-QF1)=3

2

-

1

2

QF1（15分）
所以，以QF₁为直径的圆内切于圆x2+y2=(3

2

)2，
即x²+y²=18．（16分）

点评：本题考查直线方程和椭圆方程的求法，证明以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．