Question

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值； 
（2）求椭圆E的方程．

Answer 1

分析：（1）把点A坐标代入圆C方程及m＜3即可求得m值；
（2）直线PF₁的斜率为k，代入点斜式可得直线PF₁的方程，根据直线PF₁与圆C相切得关于k的方程，解出k，然后按k值进行讨论，求出直线PF₁与x轴交点横坐标可得c值，由椭圆定义可得a，进而求出b；

解答：解：（1）点A（3，1）代入圆C方程，得（3-m）²+1=5，
∵m＜3，∴m=1，；
（2）设直线PF₁的斜率为k，则PF₁：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0，
因为直线PF₁与圆C相切，所以

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

，解得k=

11

2

，或k=

1

2

．
当k=

11

2

时，直线PF₁与x轴交点横坐标为

36

11

，不合题意，舍去．
当k=

1

2

时，直线PF₁与x轴交点横坐标为-4，所以c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
所以2a=|AF1|+|AF2|=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a²=18，b²=2，
所以椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

2

=1．

点评：本题考查圆的方程、椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查学生分析解决问题的能力．