Question

1．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b
（1）若b=-1，函数y=f（x）在x∈[2，3]上有一个零点，求a的取值范围
（2）若a=b，且?a∈[2，3]都有f（x）＜0成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）b=-1时，f（x）=x²-（a+1）x-1，由f（0）=-1，f（x）在[2，3]有一个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）令g（a）=（1-x）a+x²-x，a∈[2，3]，看做一次函数，利用单调性即可得出．

解答 解：（1）b=-1时，f（x）=x²-（a+1）x-1，
∵f（0）=-1，若f（x）在[2，3]有一个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≥0}\end{array}\right.$，得出$\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{3}$．
∴a的取值范围是$\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{3}$．
（2）令g（a）=（1-x）a+x²-x，a∈[2，3]，
∵g（a）＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}g（2）＜0\\ g（3）＜0\end{array}\right.$，
得出：1＜x＜2．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的性质、不等式的性质，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于中档题．