Question

10．已知m∈R，要使函数f（x）=|x²-4x+9-2m|+2m在区间[0，4]上的最大值是9，则m的取值范围是（-∞，$\frac{7}{2}$]．

Answer 1

分析 将f（x）配方，求得对称轴，求得f（2），f（0）=f（4），由二次函数的最值取得，可能在顶点处或两端点处，分别计算即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=|x²-4x+9-2m|+2m
=|（x-2）²+5-2m|+2m，
对称轴为x=2，可得
f（0）=f（4）=|9-2m|+2m，
f（2）=|5-2m|+2m，
由f（x）在区间[0，4]上的最大值是9，
①当f（2）=9，即|5-2m|+2m=9，
解得m=$\frac{7}{2}$，
即f（x）═|（x-2）²-2|+7，
此时f（0）=f（4）=9成立；
②当f（0）=f（4）=|9-2m|+2m=9，
可得9-2m≥0，即m≤$\frac{9}{2}$，
f（2）=|5-2m|+2m≤9，
解得m≤$\frac{7}{2}$，
综上可得m的取值范围是（-∞，$\frac{7}{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查分类讨论思想方法，以及二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．