Question

如图所示，两个非共线向量

OA

，

OB

的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈R），则x²+y²的最小值为（　　）

• A．

  2

  4

• B．

  1

  8

• C．

  2

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：法一：特殊值法，当θ=90°，|

OA

|=|

OB

|=1时，建立直角坐标系，得x+y=

1

2

，所以x²+y²的最小值为原点到直线的距离的平方；
解法二：因为点C、M、N共线，所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=

1

2

λ+

1

2

μ=

1

2

，下同法一

解答：解法一：特殊值法，当θ=90°，|

OA

|=|

OB

|=1时，建立直角坐标系，
∴

OC

=x

OA

+y

OB

得x+y=

1

2

，所以x²+y²的最小值为原点到直线的距离的平方；
解法二：因为点C、M、N共线，所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1，
又因为M、N分别为OA与OB的中点，
所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

=

1

2

λ

OA

+

1

2

μ

OB

∴x+y=

1

2

λ+

1

2

μ=

1

2

原题转化为：当x+y=

1

2

时，求x²+y²的最小值问题，
∵y=

1

2

-x
∴x²+y²=x2+(

1

2

-x)2=2x2-x+

1

4

结合二次函数的性质可知，当x=

1

4

时，取得最小值为

1

8

故选B

点评：本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以

OC

=λ

OM

+μ

ON

，有λ+μ=1“的应用