Question

11．设A=$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{0}\\{1}&{0}&{1}\end{array}）$，AB+E=A²+B，求B．

Answer 1

分析 将等式转化成（A-E）B=（A-E）（A+E），由求得A-E，由|A-E|=-1≠0，A-E可逆，将等式两边左乘（A-E）^-1，即可求得B=A+E，根据矩阵的加法即可求得B．

解答 解：∵AB+E=A²+B，
∴（A-E）B=（A-E）（A+E），
∵A-E=$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{0}\\{1}&{0}&{1}\end{array}）$-$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{array}]$，
∵|A-E|=-1≠0，
∴A-E可逆，
将（A-E）B=（A-E）（A+E），两边左乘（A-E）^-1，
∴B=A+E，
B=A+E=$（\begin{array}{l}{1}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{0}\\{1}&{0}&{1}\end{array}）$-$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{0}&{1}\\{0}&{3}&{0}\\{1}&{0}&{2}\end{array}]$，

∴B=$[\begin{array}{l}{2}&{0}&{1}\\{0}&{3}&{0}\\{1}&{0}&{2}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵矩阵的线性运算、矩阵可逆的充要条件，考查转化思想，属于中档题．