Question

15．已知函数f（x）=lnx-ax²-x（a∈R）．
（1）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若-$\frac{1}{9}$≤a≤-$\frac{1}{10}$，证明：方程f′（x）=0有两个不等实根x₁，x₂，并求|x₂-x₁|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数只需要2ax²+x-1≤0对任意的x＞0恒成立，通过分离参数，利用二次函数的性质可求得a的取值范围；
（2）根据二次函数的性质证明并判断|x₂-x₁|的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-1=-$\frac{2{ax}^{2}+x-1}{x}$（x＞0），
若f（x）在定义域上是增函数，
只需要2ax²+x-1≤0，
即2a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，
所以a≤-$\frac{1}{8}$．
（2）证明：由（1）令f′（x）=0，
得：2ax²+x-1=0，
∵-$\frac{1}{9}$≤a≤-$\frac{1}{10}$，
∴△=1+8a＞0，
∴方程f′（x）=0有两个不等实根x₁，x₂，
而x₁+x₂=-$\frac{1}{2a}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2a}$，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{{4a}^{2}}+\frac{2}{a}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2a}+2）}^{2}-4}$，
∵-$\frac{1}{9}$≤a≤-$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{3}{2}$≤|x₂-x₁|≤$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了函数的单调性以及函数恒成立问题，考查导数的应用、二次函数的性质，是一道中档题．