Question

在直二面角 α-AB-β 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为（　　）

A．45°

B．60°

C．120°

D．60° 或 120°

Answer 1

分析：在一个直二面角内，由棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45°的斜线 PC、PD有两种作法，即当PC与PD同向和异向两种情况，在两条斜线上分别取点C和点D，借助于二面角是直二面角，构造直角三角形找边的关系，把要求解的角也放在一个三角形中，然后利用解三角形求解∠CPD的大小．

解答：解：如图，
当两斜线PC，PD同向时，在PC上取点C，过C作CG⊥AB于G，
在平面β内过G作GD⊥AB，交PD于D，连结CD．
∵二面角α-AB-β为直二面角，∴CG⊥β，则CG⊥GD．
在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，设CG=a，则PG=a，∴PC=

2

a．
在Rt△DGP中，∵∠DPG=45°，∴DG=PG=a，则PD=

2

a．
在Rt△DGC中，∵CG=DG=a，∴CD=

2

a．
∴△PCD是等边三角形，∴PC和PD所成角为60°；
如图，
当两斜线PC，PD异向时，在PC上取点C，过C作CG⊥AB于G，
在PD上取点D，使PD=

2

CG，连结CD，
∵二面角α-AB-β为直二面角，∴CG⊥β，则CG⊥GD．
设CG=a，在Rt△CGP中，∵∠CPG=45°，∴PG=a，则PC=

2

a，
PD=

2

CG=

2

a，∵∠BPD=45°，∴∠DPG=135°．
在△DPG中，GD²=PG²+PD²-2PG•PDcos135°
=a2+2a2-2•a•

2

a•(-

2

2

)=5a²．
∴CD²=CG²+GD²=a²+5a²=6a²．
在△DPC中，cos∠DPC=

PD2+PC2-CD2

2PC•PD

=

2a2+2a2-6a2

2• 2 a• 2 a

=-

1

2

．
∴∠DPC=120°．
∴PC和PD所成角为120°．
所以∠CPD的大小为60°或120°．
故选D．

点评：本题考查了空间两条直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．