Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数，.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）①当时，判断函数的奇偶性并证明，并判断是否有上界，并说明理由；

②若，函数在上的上界是，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)函数在上不是有界函数；(2)①奇函数，证明见解析，有上界，理由解析；②.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用有界函数的定义及指数函数的有关知识求解；(2)借助题设运用函数的奇偶性及函数的单调性等有关知识求解推证.

试题解析：

（1）当时，

因为在上递减，所以，

即在的值域为

故不存在常数，使成立

所以函数在上不是有界函数.

注：令，……再求出的值域，同样给分.

（2）①当时，，显然定义域为,

又

∴为奇函数.

由于，

∴，存在为上界

②，

∵，，∴在上递减，

∴，即

，∴

∴