Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；

（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. （2） （3）见解析

【解析】

(1)将参数值k代入解析式，对函数求导，得到导函数大于0，进而得到函数只有增区间没有减区间；（2）对函数求导，在区间上不单调所以在上有实数解，且无重根，变量分离即方程有解，通过换元得到新函数的单调性，对方程的根进行讨论即可;(3)证明：或则函数在上不能有三个不同零点，证明，函数有3个不同零点则或即可.

（1）若k=-1，则，所以

由于△=16-48<0,

所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间.

（2）因

，因在区间上不单调，

所以在上有实数解，且无重根，

由得

令有，记则，

所以在 上，h(t)单调递减，在 上, h(t)单调递增，

所以有，于是得

而当时有在上有两个相等的实根，故舍去

所以.

（3）因为

所以，当△=，即时

函数在R上单调递增

故在R上不可能有三个不同零点

所以，若在R上有三个不同零点，则必有△，

即是在R上有三个不同零点的必要条件.

而当，时，满足

但

即此时只有两个不同零点

同样，当时，满足，

但

即此时也只有两个不同零点

故k<-2或k>7是在R上有三个不同零点的必要不充分条件.