Question

已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．

Answer 1

（1）    （2）当时，的最大值为 

 （1）解：设，则，
∵，
∴．
即，即，
所以动点的轨迹的方程．
（2）解：设圆的圆心坐标为，则．          ①
圆的半径为．
圆的方程为．
令，则，
整理得，．                            ②
由①、②解得，．
不妨设，，
∴，．
∴ 
，                    ③
当时，由③得，．
当且仅当时，等号成立．
当时，由③得，．
故当时，的最大值为．