Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

(1)证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

(2)求D₁到平面BDE的距离.

Answer 1

(1)证明：建立如图所示的坐标系，得B(0,1,0),D₁(1,0,2),F(,,1),C₁(0,0,2), E(0,0,1).

∴=(,,0), =(0,0,2),=(1,-1,2).?

∴·=0, ·=0,即EF⊥CC₁,EF⊥BD₁.

故是CC₁与₁的公垂线.

(2)解析：同(1)B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1).

设平面BDE的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.

∴(x,y,z)(1,-1,0)=0,(x,y,z)(-1,0,1)=0,

即∴

∴点D₁到平面BDE的距离d= = ==.