Question

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，.
（1）讨论函数的单调性；（2）若，设，
（ⅰ）求证g（x）为单调递增函数；
（ⅱ）求证对任意x，x，xx，有.

Answer 1

（1）详见解析；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（1）先利用导数求出函数的两个潜在极值点与，由于，可以确定也在函数的定义域中，然后对与的大小关系分三种情况进行讨论，并求出相应条件下函数的单调区间；
（2）（ⅰ）求出的导数，然后利用导数或法说明在上恒成立，从而证明函数为单调递增函数；（ⅱ）利用（ⅰ）中的结论是单调递增函数，并假设，由经过变形得到.
试题解析：(1)的定义域为，
  2分
（i）若即,则故在单调增加。 3分
(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。 5分
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. 6分
(2) （ⅰ）
则  7分
由于1<a<5,故，即g(x)在(0, +∞)单调增加， 8分
（ⅱ）有（ⅰ）知当时有，即，
故，当时，有 10分
考点：分类讨论、函数的单调性与导数