Question

3．函数f（x）=x²|x-a|，x∈[0，2]
（1）当a=1时求函数的最大值；
（2）求函数的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （1）求得a=1时，f（x）的分段函数式，对0≤x＜1时，1≤x≤2时，求得导数和单调区间，可得最大值，即可得到所求函数的最大值；
（2）对a讨论，当a≤0，当a＞0，求得单调性，可得最小值，结合不等式的性质，可得g（a）．

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x²|x-1|，x∈[0，2]，
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（x-1），1≤x≤2}\\{{x}^{2}（1-x），0≤x＜1}\end{array}\right.$，
当0≤x＜1时，f（x）=x²（1-x）的导数为f′（x）=2x-3x²=x（2-3x），
可得f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，1）递减，
即有f（x）在x=$\frac{2}{3}$处取得最大值$\frac{4}{27}$；
当1≤x≤2时，f（x）=x²（x-1）的导数为f′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
可得f（x）在（1，2）递增，即有f（x）在x=2处取得最大值4；
综上可得，f（x）在[0，2]处的最大值为f（2）=4；
（2）函数f（x）=x²|x-a|，x∈[0，2]
当a≤0时，f（x）=x²（x-a）的导数为f′（x）=3x²-2ax≥0在[0，2]恒成立，
即有f（x）在[0，2]递增，可得f（0）为最小值0；
当a＞0时，f（x）=x²|x-a|，由于x²∈[0，4]，
|x-a|≥0，可得f（x）≥0，当x=0或x=a时，取得最小值0．
综上可得f（x）的最小值g（a）=0．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用去绝对值的方法，以及导数判断单调性，求最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．