Question

在直角坐标平面上有一点列P_n(x_n,y_n)(n∈N^*),点P_n位于直线y=3x+上,且P_n的横坐标构成以为首项,-1为公差的等差数列{x_n}.

(1)求点P_n的坐标;

(2)设抛物线列C₁,C₂,…,C_n,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第n条抛物线C_n的顶点为P_n,且经过点D_n(0,n²+1)(n∈N^*).记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n,求证:++…+＜;

(3)设S={x|x=2x_n,n∈N^*},T={y|y=4y_n,n∈N^*},等差数列{a_n}的任意一项a_n∈S∩T,其中a₁是S∩T中的最大数,且-256＜a₁₀＜-125,求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

解:(1)x_n=+(n-1)×(-1)=-n=,

∴y_n=3·x_n+=-3n=.

∴P_n(,).

(2)证明:∵C_n的对称轴垂直于x轴,且顶点为P_n,

设C_n的方程为y=a(x+)².

把D_n(0,n²+1)代入上式,得a=1.

∴C_n的方程为y=x²+(2n+3)x+n²+1.

∴k_n=y′|_x=0=2n+3.

∴==().

∴++…+=［()+()+…+()］

=()=＜.

(3)S={x|x=-(2n+3),n∈N*},

T={y|y=-(12n+5),n∈N^*}={y|y=-2(6n+5)-3,n∈N^*},

∴S∩T=T,T中的最大数a₁=-17.

设{a_n}的公差为d,则a₁₀=-17+9d∈(-265,-125),由此得＜d＜-12.

又∵a_n∈T,∴d=-12m(m∈N^*).

∴d=-24.∴a_n=7-24n(n∈N^*).