Question

如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）

解：（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分

∵，所以.
又，所以.  ………………… 2分
∵，所以平面.
∵平面，所以.  ……… 4分
（Ⅱ）由已知，，
∴，.
又为正三角形，且，∴. …………………… 6分
∵，所以.
∴.
由（Ⅰ）知是二面角的平面角.
∴平面平面.       …………………………………………… 8分
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.
过作于，连结，则.
∴是二面角的平面角. ………………………………… 10分
在中，易求得.
∵，所以.  ………………………… 12分
∴.
即二面角的余弦值为.  …………………………………… 13分
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直.     ……………………… 9分
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知，，，.
∴，.  ……………………… 10分
设平面的法向量为，
则即
令，则，.
∴平面的一个法向量为.   ……………………… 11分
易知平面的一个法向量为.
∴. …………………………………… 12分
由图可知，二面角为锐角.
∴二面角的余弦值为. …………………………………… 13分