Question

（本小题满分12分）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点在上．

（1）若是中点，求证：平面；

（2）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连结BC1,交B1C于E,连结DE.由三角形中位线定理可知，可得平面；

（2）由题意可知，两两垂直，所以可以以为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量可计算二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明:连结BC1,交B1C于E,连结DE.

∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,

∴侧面BB1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线

∴ DE// AC1. 2分

∵DE平面B1CD, AC1平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD 4分

（2）∵ AC⊥BC, 所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-.

则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4). 6分

设D (a, b, 0)(,),

∵点D在线段AB上,且, 即.

∴. ,,. 8分

平面BCD的法向量为.，

设平面B1CD的法向量为,

由 ,, 得 ,

所以,. 10分

设二面角的大小为,

所以二面角的余弦值为. 12分

考点：线面平行的判定与性质，空间向量的应用.