Question

1．阅读下面的两个程序：
（1）若当输入一个正整数n时，这两个程序输出的结果记为a_n，b_n，写出{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过程序框图可知，a₁=$\frac{1}{3}$、a_n+1=3a_n，b₁+1=0、b_n+1+1=（b_n+1）+3，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知c_n=（3n-4）•3^n-2，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）由程序框图可知，数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项、3为公比的等比数列，
数列{b_n+1}是以0为首项、3为公差的等差数列，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•3^n-1=3^n-2，b_n=3（n-1）-1=3n-4；
（2）由（1）可知c_n=a_n•b_n=（3n-4）•3^n-2，
∴T_n=-$\frac{1}{3}$+2+5•3+8•3²+…+（3n-4）•3^n-2，
∴3T_n=-1+2•3+5•3²+…+（3n-7）•3^n-2+（3n-4）•3^n-1，
以上两式错位相减得：-2T_n=-$\frac{1}{3}$+3+3²+…+3^n-1-（3n-4）•3^n-1
=-$\frac{1}{3}$+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（3n-4）•3^n-1
=-$\frac{11}{6}$-（3n-$\frac{11}{2}$）•3^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{11}{12}$+$\frac{6n-11}{4}$•3^n-1．

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意错位相减法和构造成法的灵活运用，注意解题方法的积累，属于中档题．