Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A-CP D₁的体积为

2

3

．
（Ⅰ）求CP的长；
（Ⅱ）求直线AD与平面APD₁所成的角θ的正弦值；
（Ⅲ）请在正方体的棱上找到所有满足C₁M∥平面APD₁的点M，写出点M的位置，不需要证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，AD⊥平面CPD₁，AD=DD₁=2，根据V三棱A-CPD1=

1

3

×2×

1

2

×CP×2=

2

3

，求得CP的值．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面APD₁的一个法向量为

n

=(2，-1，1)． 求得sinθ=

| AD • n |

| AD || n |

的值，可得直线AD与平面APD₁所成角θ的正弦值．
（Ⅲ）满足条件的点M位于线段A₁B₁中点或者B点．

解答：解：（Ⅰ）依题意，AD⊥平面CPD₁，AD=DD₁=2，
∴V三棱A-CPD1=

1

3

AD•S△CPD1=

1

3

×2×

1

2

×CP×2=

2

3

，
∴CP=1．
（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（1，2，0）、D₁（0，2，2）
所以

AD

=(0，2，0)，

AP

=(1，2，0)，

AD1

=(0，2，2)，
设平面APD₁的一个法向量

n

=(x，y，z)，则

AP • n =0 AD1 • n =0

⇒

x+2y=0 2y+2z=0

，
令x=2，得平面APD₁的一个法向量为

n

=(2，-1，1)．  
所以sinθ=

| AD • n |

| AD || n |

=

2

2× 6

=

6

6

，故直线AD与平面APD₁所成角θ的正弦值为

6

6

．
（Ⅲ）满足条件的点M位于线段A₁B₁中点或者B点．

点评：本题主要考查求棱锥的体积，直线和平面所成的角的定义和求法，直线和平面平行的判定方法，属于中档题．