Question

（2010•孝感模拟）已知 椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为e，点F₁关于直线l：y=ex+a的对称点记为P，若△PF₁F₂为等腰三角形，则e=（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  3

• C．

  6

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根据PF₁⊥l，可得到∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，进而要使得△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c成立，设点F₁到l的距离为d，根据

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=c可得到

1-e2

1+e2

=e，进而可得到e的值

解答：解：因为点F₁关于直线l：y=ex+a的对称点记为P
所以PF₁⊥l，
所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，
即

1

2

|PF₁|=c．
设点F₁到l的距离为d，由

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c．
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，
所以e=

3

3

故选B．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的离心率，解题的关键是根据PF₁⊥l，得到∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，进而要使得△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|．