Question

12．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 依题意得$\frac{1}{2}×2$（x+y+z）=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$，即x+y+z=$\sqrt{3}$．再利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 解：依题意得$\frac{1}{2}×2$（x+y+z）=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$，即x+y+z=$\sqrt{3}$．
∴3=（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1+1+1），
∴x²+y²+z²≥1当且仅当x=y=z=1等号成立，
∴x²+y²+z²的最小值为1．

点评 本题考查了柯西不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．