Question

设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁＜a₂），又

lim

n→+∞

(b1+b2+…+bn)=

2

+1．试求{a_n}的首项与公差．

Answer 1

分析：设出数列的公差，利用{b_n}为等比数列，可确定数列的公比，利用

lim

n→+∞

(b1+b2+…+bn)=

2

+1存在，即可求得结论．

解答：解：设所求公差为d，∵a₁＜a₂，∴d＞0．
由此得a₁²（a₁+2d）²=（a₁+d）⁴，化简得2a₁²+4a₁d+d²=0
解得d=（-2±

2

） a₁．…（5分）
而-2±

2

＜0，故a₁＜0．
若d=（-2-

2

）a₁，则q=

a 2 2

a 2 1

=(

2

+1)2；
若d=（-2+

2

）a₁，则q=

a 2 2

a 2 1

=(

2

-1)2；…（10分）
但

lim

n→+∞

(b1+b2+…+bn)=

2

+1存在，故|q|＜1．于是q=(

2

+1)2不可能．
从而

a 2 1

1-( 2 -1)2

=

2

+1⇒

a

2 1

=(2

2

-2)(

2

+1)=2．
所以a₁=-

2

，d=（-2+

2

） a₁=（-2+

2

）（-

2

）=2

2

-2．…（20分）

点评：本题考查数列的极限，考查等差数列与等比数列的综合，考查学生的计算能力，属于中档题．