Question

(本题满分13分)已知y= F(x)的导函数为f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0),

函数y=f(x)的图象如右图所示，且函数y=F(x)的图象经过（1，2）和（－1，2）两点，又过点（1，0）作斜率之积为－10的两条直线l₁和l₂，l₁和l₂与函数的图象分别相交于A、B两点和C、D两点，O为坐标原点。

（1）求函数y=f(x)的对称中心的坐标；

（2）若线段AB和CD的中点分别为M，N，求三角OMN面积的取值范围。

Answer 1

（1）（1，1）     （2）≥

解析:

（1）由图像可设y=f(x)=ax(x-1)(x-2)+1

=ax³-3ax²+2ax+1

∵(xⁿ)′=nx^n-1(n∈Z),∴F(x)为四次函数，可设F(x)=,      2分

又F（1）＝2，F（－1）＝2，     ∴            

∴f(x)=x³-3x²+2x+1=(x-1)³-x+2

设函数f(x)的图象关于点（m,n）对称，则对任意的x都有f(x)+f(2m-x)=2n,

∴（x-1）3+(2m-x-1)3-2m+4=2n

令x=1与x=m有　　　　6(m-1)³=0       m=1

∴n=f(m)=f(1)=1  ∴对称中心的坐标为（1，1）.                        6分

另解：f′(x)=3x²-5x+2，设x₁,x₂为f′(x)=0的两根，

可知对称中心的横坐标  ∴,

∴纵坐标为f(1)=1        ∴对称中心为（1，1）                6分

（2）由（1）可知,

分别设A（x_1，y₁）,B(x_2，y₂)，C(x_3，y₃)，D(x₄,y₄)，M(x₅,y₅)，N(x₆,y₆).

由题可设l₁的方程为y=k(x-1)，代入y=x²得x²=kx+l=0,

∴＞0　　k＞4或k＜0　　　　　①

l₂的方程为，同理有kx²+10x-10=0         8分

＞                                  ②

由①，②有＜k＜0或k＞4    由上可知，

同理　　，   ∵＜0,∴M,N两点在y轴的两侧.

若M点在y轴左侧（如下图所示），则S_ΔOMN＝S_梯形MPQN－S_ΔOQN－S_ΔOMP

＝＝，

同理当M点在y轴的右侧时，

∴，     11分

令,由双勾函数的性质可知，在＜k＜0或k＞4时，

t＜或t≥  ∴|t|≥    ∴≥       13分