Question

已知sin（α+β）=1，求证：tan（2α+β）+tanβ=0

Answer 1

分析：要证明等式成立即先化简等式的左边看是否为0，方法是由特殊角的三角函数值求出α，将其代入到等式左边利用诱导公式化简可得值为0得证．

解答：证明：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴α=2kπ+

π

2

-β(k∈Z)，
把α代入到等式左边得：
tan(2α+β)+tanβ=tan[2(2kπ+

π

2

-β)+β]+tanβ
=tan（4kπ+π-2β+β）+tanβ
=tan（4kπ+π-β）+tanβ
=tan（π-β）+tanβ
=-tanβ+tanβ=0，
∴tan（2α+β）+tanβ=0

点评：此题考查学生会利用特殊角的三角函数值求角度，灵活运用诱导公式化简求值．证明的思路化简等式左边．