Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a²+c²-b²=ac．
（1）求B；
（2）若2bcosA=

3

(ccosA+acosC)，BC边上的中线AM的长为

13

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，将已知等式代入计算求出cosB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）利用正弦定理化简已知等式，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，由A为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出C为直角，设|BC|=m，则|AC|=

3

m，|AB|=2m，|CM|=

1

2

m，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到|CA|与|CB|的长，利用三角形面积公式求出即可．

解答：解：（1）∵a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
由B为三角形内角，得到B=

π

3

；
（2）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简已知等式得：2sinBcosA=

3

（sinCcosA+sinAcosC），
即2sinBcosA=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

π

6

，
∴C=

π

2

，
设|BC|=m，则|AC|=

3

m，|AB|=2m，|CM|=

1

2

m，
根据勾股定理得：（

1

2

m）²+（

3

m）²=（2m）²，
解得：m=2，
则S_△ABC=

1

2

|CA|•|CB|=2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．