Question

【题目】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马中，底面．

（1）若，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；

（2）证明：四面体为鳖臑；

（3）若，，，为线段上一个动点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）推导出侧棱在平面上的射影是，从而是侧棱与平面所成角，，从而求得立柱的长.

（2）四边形是长方形，从而是直角三角形，由此得出，从而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能证明四面体为鳖臑.

（3）利用转化法求出异面直线与的距离，即可求得三角形面积的最小值.

（1）因为侧棱平面，所以侧棱在底面上的射影是，所以是侧棱与平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.

（2）证明：由题意知四边形是长方形，所以三角形是直角三角形.

由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因为，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面体为鳖臑.

（3）与是两异面直线，，所以平面，则两异面直线与的距离等于到平面的距离，也即到平面的距离，等于到直线的距离.因为，所以，则到的距离为.

所以线段上的动点到的最小距离为.则三角形面积的最小值为.