Question

【题目】如图（一），在直角梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置得到图（二），点为棱上的动点.

（1）当在何处时，平面平面，并证明；

（2）若，，证明：点到平面的距离等于点到平面的距离，并求出该距离.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）先判断出点为棱中点时，平面平面；再根据面面垂直的判定定理即可得出结论成立；

（2）先由(1)得到平面平面，且交线为，再过点作交的延长线于点，从而可得就是点到底面的距离，最后由，即可求出结果.

解：（1）当点为棱中点时，平面平面.

证明如下：

在图（一）的直角梯形中，，，，是的中点，

所以.

在图（二）中，有，，，平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.

又，所以.

由于，

为的中点，

所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）图（一）中，由及条件关系，

得，

由（1）的证明可知，在图（二）中有平面.

所以平面平面，且交线为，

所以过点作交的延长线于点，

由平面平面，可知平面，

所以就是点到底面的距离.

由知，

所以.

设点到平面的距离为，

由，

得 ，

即，

即得点到平面的距离等于点到平面距离，且为.