Question

【题目】设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且 ，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A.
B. ??
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设g（x）= ， ∴g′（x）= ，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（﹣x）= = =g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）= =0，
∵f（x）＜2f（ ）sinx，
即g（ ）sinx＞f（x）；
① 当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（ ）＞ =g（x）；
所以x∈（ ，π）；
②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（ ）=g（﹣ ）＜ =g（x）；
所以x∈（﹣ ，0）；
不等式f（x）＜2f（ ）sinx的解集为解集为（﹣ ，0）∪（ ，π）．
故选：B．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．