Question

15．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=2t+1\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）分别求出曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P在曲线C₂上，且P到曲线C₁的距离为2，求满足这样条件的点P的个数．

Answer 1

分析 （I）用分别x，y表示出t，列出方程消去t，得到C₁的普通方程，由ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C₂的直角坐标方程；
（II）计算C₂的圆心到直线的距离，判断直线C₁与圆C₂的位置关系，得出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}x=t-1\\ y=2t+1\end{array}\right.$（t为参数），∴$\left\{\begin{array}{l}{t=x+1}\\{t=\frac{y-1}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲线C₁的普通方程为x+1=$\frac{y-1}{2}$，即2x-y+3=0．
由ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，
∴曲线C₂的直角坐标方程为：x²+y²=2x，即：（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）圆心C₂（1，0）到直线C₁的距离为$d=\frac{{|{2-0+3}|}}{{\sqrt{1+4}}}=\sqrt{5}$，圆C₂半径为1，
∴C₂上的点到C₁的最短距离为$\sqrt{5}-1$，最大距离为$\sqrt{5}+1$．
∵$\sqrt{5}-1＜2＜\sqrt{5}+1$，
所以圆C₂上到直线C₁的距离为2的点有两个．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系判断，属于基础题．