Question

9．设函数f（x）=|2x-a|+5x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x-5|≥1，即 2x-5≤-1，或2x-5≥1，由此求得x的范围．
（Ⅱ）把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得不等式的解集，再根据不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求得a的值．

解答 解：（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x-5|+5x≥5x+1，即|2x-5|≥1，
即 2x-5≤-1，或2x-5≥1．
求得x≤2，或x≥3，故原不等式的解集为{x|x≤2，或x≥3}．
（Ⅱ）∵a＞0，不等式f（x）≤0，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{a}{2}}\\{2x-a+5x≤0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{a}{2}}\\{a-2x+5x≤0}\end{array}\right.$②．
解①可得$\frac{a}{2}$≤x＜$\frac{a}{7}$，故①无解；解②可得x≤$\frac{a}{3}$，故原不等式的解集为{x|x≤$\frac{a}{3}$  }．
再根据已知原不等式的解集为{x|x≤-1}，可得$\frac{a}{3}$=-1，∴a=-3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．