Question

5．已知抛物线y²=2px（p＞0）上有A、B两点，且OA⊥OB，直线AB与x轴相交于点P，则点P的坐标为（2p，0）．

Answer 1

分析 若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，与抛物线方程联立，利用韦达定理和直线恒过定点的求法，可得结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程可得y²-2pmy-2pn=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．
故答案为：（2p，0）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．