Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，一2），点C满足，其中，且．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆交于两点M,N，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆长轴长的取值范围。

Answer 1

（1）。
（2）由
以MN为直径的圆过原点O，
为定值。
（3）椭圆长轴的取值范围是。

试题分析：（1）设，由可得

有，即点C的轨迹方程为                 4分
（2）由
设
则
∵以MN为直径的圆过原点O，

为定值               9分
（3）



∴椭圆长轴的取值范围是                     12分
点评：中档题，本题求轨迹方程，主要运用的是平面向量的线性运算及向量的坐标运算和向量的相等。研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往应用韦达定理，通过“整体代换”，简化解题过程，实现解题目的。