Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a，且f（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数g（x）的单调性．
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，恒有成立．

Answer 1

（Ⅰ）解：函数f（x）=x²-alnx，则，
∵f（x）在x=1处取极值
∴f′（1）=0
∴2-a=0
∴a=2．…（3分）
∴g（x）=x-2，∴．
由，可得x＞1，由，可得0x＜1，…（…（5分）
所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）证明：当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，要证等价于x（2-lnx）＜2+lnx，即
设h（x）=，则h′（x）==．…（10分）
∴当1＜x＜e²时，h′（x）＞0，
所以h（x）在区间（1，e²）上为增函数．…（12分）
从而当1＜x＜e²时，h（x）＞h（1）=0，即，故 …（14分）．
分析：（Ⅰ）利用f（x）在x=1处取极值，求得a的值，从而可得g（x）=x-2，再求导函数，即可求得g（x）的单调区间；（Ⅱ） 当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，要证等价于x（2-lnx）＜2+lnx，即，构造h（x）=，证明h（x）在区间（1，e²）上为增函数，从而当1＜x＜e²时，h（x）＞h（1）=0，即，故问题得证．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查利用函数的单调性证明不等式，解题的关键是等价转化，构建新函数．