Question

(本题满分15分) 已知函数f(x)=(2－a)(x－1)－2lnx，,其中a∈R，

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在（0，）上无零点，求a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1)当a=2时，f(x)=-lnx,故函数f(x)递减区间为（0，）；

当a2时，

若a>2,当x>0时，都有，所以函数f(x)递减区间为（0，）；

若a<2,当x变化时，的变化情况如下表：

x
	－	0	+
f(x)		极小值

故函数f(x)递减区间为：，

故函数f(x)递增区间为：

（2）因为f(x)<0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x) 在区间上无零点，只要对任意的x，f(x)>0恒成立即可，

即对x，a>恒成立.

令

则

再令

则

故h(x)在上为减函数，于是h(x)>h,

从而，于是g(x)在上为增函数，

所以g(x)<,

故要使函数f(x)在上无零点，a的取值范围为：.

 

【解析】略