Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(

2

，0)，已知F为椭圆的右焦点，A、B为椭圆上的两动点，直线l：x=2与x轴交于点G．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点A、B、G三点共直线l'，试求当△AOB的面积最大时直线l'的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可知a=

2

，c=1，从而b²=a²-c²=1，故可求椭圆的方程；
（2）设过点G的直线方程为x=my+2，代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，计算原点O到直线x=my+2的距离为

2

m2+1

，|AB|的长，表示出△AOB的面积，再换元，利用基本不等式求△AOB的面积最大，从而可求直线l'的方程．

解答：解：（1）由题意可知a=

2

，c=1，
从而b²=a²-c²=1，所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设过点G的直线方程为x=my+2，代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，
得（m²+2）y²+4my+2=0（*）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=

2

m2+2

，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 2 • (m2+1)(m2-2)

m2+2

由于原点O到直线x=my+2的距离为

2

m2+1

，
∴S△AOB=

1

2

×

2 2 • (m2+1)(m2-2)

m2+2

×

2

m2+1

=2

2

•

m2-2 (m2+2)2

令m²-2=t，则由（*）式知△＞0，
∴m²-2＞0，故t＞0．
∴S△AOB=2

2

•

t (t+4)2

=2

2

•

t t2+8t+16

=2

2

•

1 t+ 16 t +8

≤2

2

•

1 2 16 +8

=

2

2

，当且仅当t=

16

t

，即t=4是等号成立，此时m²=6．
∴m=±

6

时，△AOB面积最大，此时直线l的方程为x=±

6

y+2．

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，（2）问表示出三角形的面积，转化为利用基本不等式求解是关键．