Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，易知b=1，设右焦点F（c，0），由条件得，可求得c值，根据a²=b²+c²，可得a值；
（2）易判断直线l斜率不存在时不合题意，可设直线l：，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，则△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x，y），由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，所以=-，由韦达定理及中点坐标公式可得关于k的方程，解出k后验证是否满足△＞0，从而可得直线l的方程；
解答：解 （1）设椭圆方程为，则b=1．
设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得，得．
则a²=b²+c²=3，
∴椭圆方程为．
（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；
故可设直线l：，与椭圆联立，消去y得：．
由，得．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x，y），
由韦达定理得，而．
则
由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，，
可求得，检验，所以k=，
所以直线l的方程为或．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，判别式、韦达定理是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，属中档题．