题目内容

对于数列{an}，（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，…，ak中最大值（k=1，2，…n），则称数列{bn}为数列{an}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7；由此定义，下列说法正确的有
①④
①④

①递减数列{an}的“凸值数列”是常数列；
②不存在数列{an}，它的“凸值数列”还是{an}本身；
③任意数列{an}的“凸值数列”是递增数列；
④“凸值数列”为1，3，3，9，的所有数列{an}的个数为3．
分析：：①根据“凸值数列”的定义，可得递减数列{an}的“凸值数列”为a1，a1，…，a1；
②常数列{an}，它的“凸值数列”还是{an}本身；
③递减数列{an}的“凸值数列”是常数列；
④写出“凸值数列”为1，3，3，9的所有数列{an}，即可得到结论．
解答：解：①根据“凸值数列”的定义，可得递减数列{an}的“凸值数列”为a1，a1，…，a1，∴是常数列，∴①正确；
②常数列{an}，它的“凸值数列”还是{an}本身，∴②不正确；
③递减数列{an}的“凸值数列”是常数列，∴③不正确；
④“凸值数列”为1，3，3，9的所有数列{an}为1，3，1，9；1，3，2，9，；1，3，3，9，个数为3，∴④正确．
故答案为①④
点评：本题主要考查“凸值数列”的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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对于数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）；一般地，规定{△kan}为数列{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=
5
2
n2-
13
2
n（n∈N*），试证明{△an}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-an+1+an=-2n（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=
a1(n=1)
2n-1
△an
(n≥2，n∈N*)
，求证：b1+
b2
2
+…+
bn
n
＜
17
12
．
8、对于数列{an}，若存在常数M，使得对任意n∈N*，an与an+1中至少有一个不小于M，则记作{an}?M，那么下列命题正确的是（　　）
对于数列{an}，定义数列{bm}如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）设{an}是单调递增数列，若a3=4，则b4=
 
；
（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=2n-1，n∈N*，则数列{bm}的通项是
 
．
（2008•上海一模）观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③an=tan
nπ
3
，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{an}，如果
存在正整数T
存在正整数T
，对于一切正整数n都满足
an+T=an
an+T=an
成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{an}满足an+2=an+1-an，n∈N*，Sn为{an}的前n项和，且S2=2008，S3=2010，证明{an}为周期数列，并求S2008；
（3）若数列{an}的首项a1=p，p∈[0，
1
2
），且an+1=2an（1-an），n∈N*，判断数列{an}是否为周期数列，并证明你的结论．
（2012•通州区一模）对于数列{an}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{an}的“差等比数列”，记为数列{bn}．设数列{bn}的首项b1=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{an}的前4项；
（II）（ⅰ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明你的理由；
（ⅱ）a1与q满足什么条件，数列{an}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a1=1，1＜q＜2，数列{an+cn}是公差为q的等差数列（n∈N*），且c1=q，求使得cn＜0成立的n的取值范围．

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