Question

已知x，y为正实数，且满足关系式x²-2x+4y²=0，求x•y的最大值．

Answer 1

分析：由于4y²=-x²+2x≥0，得出x的取值范围，再将xy看成整体，表示成关于x的函数，对此函数应用导数工具，利用导数研究其单调性，从而求得xy的最大值．

解答：解：∵4y²=-x²+2x≥0，
∴0≤x≤2．
∴x2•y2=-

1

4

x4+

1

2

x3．
令s=x²y²，则s=x2•y2=-

1

4

x4+

1

2

x3，（0≤x≤2）．
S′=-x3+

3

2

x2．由S′=0，得x=0，或x=

3

2

x∈(0，

3

2

)时，S′＞0； x∈(

3

2

，2)时，S′＜0．
∴当x=

3

2

时，S=

27

64

；
即当x=

3

2

时，x•y的最大值为

3 3

8

．

点评：本题主要考查应用导数求最值以及数学中的整体思想方法，属于基础题．