Question

已知
（1）判断的奇偶性；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，恒成立，求b的取值范围.

Answer 1

（1）为奇函数；（2）为增函数；（3）的取值范围是.

试题分析：（1）要判断的单调性，首先考虑其定义域为，关于原点对称，又，因此为奇函数；（2）的表达式中有，因此需要分和，两种情况分类讨论，可以得到在上单调递增；（3）根据题意，要使对任意恒成立，只需，而由（2）在上单调递增，因此只需.，从而可以得到的取值范围为.
（1）函数定义域为R，关于原点对称，∵，∴为奇函数； （2）当时，为增函数，为减函数，
从而为增函数，∴为增函数.
当时，为减函数，∴为增函数，
故当且时，在上单调递增；
（3）由（2）知在R上是增函数，∴在区间上为增函数，
∴，
∴要使在上恒成立，则，故的取值范围是．