Question

已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆上的动点，点M，N在y轴上，圆（x+1）²+y²=1内切于△PMN，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆C：的离心率为，短轴长为4，建立方程，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设P（x，y），直线PM、PN的方程，利用圆心（1，0）到直线PM、PN的距离为1，建立方程，利用韦达定理，确定直线斜率之间的关系，进而表示三角形的面积，即可求△PMN面积的最小值．
解答：解：（1）∵椭圆C：的离心率为，短轴长为4
∴
∴
∴
∴椭圆C的方程为；
（2）设P（x，y），直线PM：y-y=k₁（x-x）
∵圆心（1，0）到直线PM的距离为1
∴
∴（）+2y（1-x）k₁+=0
同理（）+2y（1-x）k₂+=0
∴k₁+k₂=-，
∴=
∵P（x，y）是椭圆上的点，∴，∴
∵y_M=y-k₁x，y_N=y-k₂x
∴S_△PMN==×=
∴S随x的增大而减小，
∴时，S_△PMN有最小值为．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．