Question

18．f（x）=x|x-a|（a＜0）在（m，n）上有最大、小值，则m，n的取值范围$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m＜a，$\frac{a}{2}$＜n≤0．

Answer 1

分析 将f（x）表示为分段函数的形式，注意运用绝对值的意义，画出f（x）的图象，由题意可得f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$，最大值为f（0）=0，由图象即可得到m，n的范围，

解答 解：f（x）=x|x-a|（a＜0），
当x≥a时，f（x）=x（x-a），
当x＜a时，f（x）=x（a-x），
画出函数f（x）的图象，
由题意可得f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
最大值为f（0）=0，
由图象可得，m＜a，且f（m）≥f（$\frac{a}{2}$），$\frac{a}{2}$＜n≤0，
由f（m）=m（a-m）≥-$\frac{{a}^{2}}{2}$，解得$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m≤$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$a，
即有m的范围是$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m＜a，
n的范围是$\frac{a}{2}$＜n≤0，
故答案为：$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m＜a，$\frac{a}{2}$＜n≤0．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用数形结合的思想方法，结合二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．