题目内容
16.数列{an}中,a1=$\frac{3}{2}$,2an+1=an+n+2(1)证明数列{an-n}是等比数列;
(2)设bn=2nan,求{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)由已知得2an+1-2n-2=an-n,由此能证明数列{an-n}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列.
(2)求出${a}_{n}=n+(\frac{1}{2})^{n}$,从而bn=2nan=n•2n+1,由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和.
解答 证明:(1)∵数列{an}中,a1=$\frac{3}{2}$,2an+1=an+n+2,
∴2an+1-2n-2=an-n,
∴$\frac{{a}_{n+1}-(n+1)}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}$,
∵${a}_{1}-1=\frac{3}{2}-1$=$\frac{1}{2}$,
∴数列{an-n}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,
解:(2)∵数列{an-n}是首项为$\frac{1}{2}$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,
∴an-n=$(\frac{1}{2})^{n}$,
∴${a}_{n}=n+(\frac{1}{2})^{n}$,
∴bn=2nan=n•2n+1,
∴{bn}的前n项和:
Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n+n,①
2Tn=22+3•24+…+n•2n+1+2n,②
①-②,得:-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1-n
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+1-n
=(1-n)•2n+1-n-2.
∴Tn=(n-1)•2n+1+n+2.
点评 本题考查等比数列的证明,考查等比数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.
练习册系列答案
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A. | [4,8-2$\sqrt{2}$] | B. | [4-2$\sqrt{2}$,8] | C. | [4,8+2$\sqrt{2}$] | D. | [4-2$\sqrt{2}$,8-2$\sqrt{2}$] |