Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（x，y），向量$\overrightarrow{v}$=（x+2y，tan$\frac{x}{2}$tany）的对应关系可用$\overrightarrow{v}$=f（$\overrightarrow{m}$）表示，试求在向量$\overrightarrow{m}$=（α，β）（α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）），使得f（$\overrightarrow{m}$）=（$\frac{2π}{3}$，2-$\sqrt{3}$）成立？如果存在，求$\overrightarrow{m}$，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设f（$\overrightarrow{m}$）=$（α+2β，tan\frac{α}{2}tanβ）$=（$\frac{2π}{3}$，2-$\sqrt{3}$）成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{α+2β=\frac{2π}{3}}\\{tan\frac{α}{2}tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，利用和差公式可得：tan²β-$（3\sqrt{3}-3）$tanβ+$（2-\sqrt{3}）$=0，解出：tanβ=1或tanβ=2-$\sqrt{3}$．分别解出即可．

解答 解：假设f（$\overrightarrow{m}$）=$（α+2β，tan\frac{α}{2}tanβ）$=（$\frac{2π}{3}$，2-$\sqrt{3}$）成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α+2β=\frac{2π}{3}}\\{tan\frac{α}{2}tanβ=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$tan（\frac{π}{3}-β）$tanβ=2-$\sqrt{3}$，
化为$\frac{（\sqrt{3}-tanβ）tanβ}{1+\sqrt{3}tanβ}$=2-$\sqrt{3}$，
化为tan²β-$（3\sqrt{3}-3）$tanβ+$（2-\sqrt{3}）$=0，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴tanβ＞0，
解出：tanβ=1或tanβ=2-$\sqrt{3}$．
由tanβ=1，解得β=$\frac{π}{4}$，α=$\frac{π}{6}$．
由tanβ=2-$\sqrt{3}$，可得β=$\frac{π}{12}$，$α=\frac{π}{2}$，舍去．
综上可得：β=$\frac{π}{4}$，α=$\frac{π}{6}$．
∴$\overrightarrow{m}$=$（\frac{π}{6}，\frac{π}{4}）$．

点评 本题考查了新定义、正切的和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．