Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，动点到点的距离比到轴的距离大1个单位长度.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或.

【解析】

（1）由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,根据题意可得准线方程,由准线方程可求得抛物线的方程.

（2）当斜率不存在时,带入检验是否成立；当斜率存在时,设出直线方程,联立抛物线,根据韦达定理可得.由向量数量积定义即可得关于的方程,解方程即可求得的值.

（1）根据抛物线的定义,知动点的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线

所以动点的轨迹方程为：

（2）①当的斜率不存在时,可知,不符合条件

②当的斜率存在且不为0时,设：,

则,联立可得,

设,,则,.

因为向量,方向相反,所以

所以,即

所以直线的方程为或.