题目内容

已知向量
α
=（3cosα，1），
b
=（-2，3sinα），且
α
⊥
b
，其中α∈（0，
π
2
）
（1）求sinα和cosα的值；
（2）若5sin（α+β）=3
5
cosβ，β∈（0，π），求角β的值．
分析：（1）用向量垂直的充要条件的sinα=2cosα；再用三角函数的平方关系求值．
（2）用三角函数的和角公式展开求得tanβ=-1，进一步求出β．
解答：解：（1）∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=-6cosα+3sinα=0，即sinα=2cosα，
又∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=
1
5
，sin2α=
4
5
，∴sin2θ=
4
5
，
又α∈(0，
π
2
)，∴sinα=
2
5
5
，cosα=
5
5
．
（2）∵5sin(α+β)=5(sinαcosβ+cosαsinβ)=2
5
cosβ+
5
sinβ=3
5
cosβ，
∴cosβ=sinβ，即tanβ=1，
∵β∈（0，π），∴β=
π
4

：答sinα和cosα的值为sinα=
2
5
5
，cosα=
5
5
；角β的值为β=
π
4
点评：本题考查向量垂直的充要条件和三角函数的和角公式．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a(
3
cosωx，sinωx)，b（sinωx，0），且ω＞0，设函数f（x）=（a+b）•b+k．
（1）若f（x）的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是2，求就k的值．
已知向量
a
=(3cosα，3sinα)，
b
=(4cosβ，4sinβ)，且|
a
+2
b
|=7，
（Ⅰ）求向量
a
、
b
的夹角θ；
（Ⅱ）求(2
a
-4
b
)•(3
a
+
b
)的值．
已知向量a=(3cosα，sinα)，α∈(0，π2)，e=(1，0)，向量a与e的夹角为β，求tan(α-β)的最大值，并求相应的α的值.

已知向量=（3cosα，2），=（3，4sinα），且∥，则锐角α等于（ ）
A．
B．
C．
D．

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