题目内容

已知向量
a
=(3cosα，3sinα)，
b
=(4cosβ，4sinβ)，且|
a
+2
b
|=7，
（Ⅰ）求向量
a
、
b
的夹角θ；
（Ⅱ）求(2
a
-4
b
)•(3
a
+
b
)的值．
分析：（Ⅰ）将|
a
+2
b
|=7两边平方，结合向量的模长，即可求向量
a
、
b
的夹角θ；
（Ⅱ）由(2
a
-4
b
)•(3
a
+
b
)，利用向量的乘法运算，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵
a
=(3cosα，3sinα)，
b
=(4cosβ，4sinβ)，且|
a
+2
b
|=7，
∴9+16+4×12cos（α-β）=49
∴cos（α-β）=
1
2

∴cosθ=
1
2

∵0≤θ≤π，∴θ=
π
3
；
（Ⅱ）(2
a
-4
b
)•(3
a
+
b
)=6|
a
|2-10
a
•
b
-4
b
2=6×9-10×3×
1
2
-64=-25．
点评：本题考查向量的数量积，考查向量的夹角，考查向量的模，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a(
3
cosωx，sinωx)，b（sinωx，0），且ω＞0，设函数f（x）=（a+b）•b+k．
（1）若f（x）的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于
π
2
，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-
π
6
，
π
6
]时，f（x）的最大值是2，求就k的值．
已知向量
a
=（3cosα，2），
b
=（3，4sinα），且
a
∥
b
，则锐角α等于（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5π
12
已知向量
a
=(3cosα，3sinα)，
b
=(4cosβ，4sinβ)，且|
a
+2
b
|=7，
（Ⅰ）求向量
a
、
b
的夹角θ；
（Ⅱ）求(2
a
-4
b
)•(3
a
+
b
)的值．
已知向量a=(3cosα，sinα)，α∈(0，π2)，e=(1，0)，向量a与e的夹角为β，求tan(α-β)的最大值，并求相应的α的值.

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