Question

已知椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且．求证：直线l过定点．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0），可求椭圆的几何量，从而可求
椭圆方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用 ，及韦达定理，可得y=kx-k，故直线l过定点．
解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C：的离心率为，且经过点M（-2，0）．
∴a=2，，∴．                        …（2分）
∵a²=b²+c²，∴．                            …（3分）
椭圆方程为．                                      …（5分）
（Ⅱ）证明：消y得  （2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，△＞0．             …（6分）
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以，．          …（7分）
设直线MA：，则；同理…（9分）
因为 ，所以 ，即．     …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，2kx₁x₂+m（x₁+x₂）-4k（x₁+x₂）-8m=0，所以，
所以 ，得 m=-k．                           …（13分）
则y=kx-k，故l过定点（1，0）．                              …（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键．