Question

（2013•嘉兴一模）已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂．a₅ 成等比数列
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且数列{b_n}的前n项和T_n 试比较T_n与

3n-1

n+1

的大小．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；
（Ⅱ）由（I）可得：a_n=2n-1，由b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，及b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，两式相减可得bn+1=21-n，利用等比数列的前n项和公式即可得到T_n，与

3n-1

n+1

比较即可．

解答：解：（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意

a1a5= a 2 2 a3=5

，∴

a1(a1+4d)=(a1+d)2 a1+2d=5

，
解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①
b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，②
②-①得2ⁿb_n+1=2，∴bn+1=21-n．
当n=1时，b₁=a₁=1，∴bn=

22-n，当m≥2时 1，当n=1时

，
当n=1时，T₁=a₁=1，

3×1-1

1+1

=1，此时Tn=

3n-1

n+1

．
当n≥2时，T_n=1+4(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)
=1+

4× 1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=3-

1

2n-2

．
又2n=(1+1)n=

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

＞n+1，
∴

1

2n-2

=

4

2n

＜

4

n+1

，3-

1

2n-2

＞3-

4

n+1

=

3n-1

n+1

．
∴当n=1时，Tn=

3n-1

n+1

，当n≥2时，Tn＞

3n-1

n+1

．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式和等比中项的定义、等比数列的前n项和公式、二项式定理是解题的关键．