Question

已知函数f（x）=

m•2x+m-2

2x+1

（x∈R）为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若f（x）=k在（-∞，0）上有解，求实数k的范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的定义可得f（0）=0，由此求得实数m的值．
（2）由于k=f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，在根据x的范围，求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由奇函数的定义可得f（0）=0，即0.5（m+m-2）=0，所以m=1，
当m=1时，f（x）=

2x-1

2x+1

=-f（-x），所以当m=1时，f（x）为奇函数，所以m=1．
（2）k=f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

．
∵x∈（-∞，0），∴1＜2^x+1＜2．
∴1＞

1

2x+1

＞

1

2

，
∴-1＜f（x）＜0，即 k∈（-1，0）．

点评：本题主要考查奇函数的定义，利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题．